Условия задач

III тур

3 тур (1 группа) 4 – 5 классы

1.Замените в выражении ОСЕНЬ + ОКТЯБРЬ одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы разными цифрами так, чтобы полученная сумма была наибольшей возможной и найдите эту сумму.

2.Если этот день не идет вслед за понедельником и не перед четвергом, а завтра не воскресенье и вчера было не воскресенье, а послезавтра будет не суббота и позавчера была не среда, то что это за день?

3.Назовём натуральное число хорошим, если все цифры, входящие в его запись, повторяются в ней хотя бы дважды (например, 1522521 — хорошее, 1522522 — нет). Сколько существует трёхзначных хороших чисел без нуля в записи?

4.На доске записано натуральное число. Каждую минуту с ним делают следующую операцию: если в нем есть две одинаковых цифры, то стирают любую из них, если же все цифры различны, то стирают все числа и вместо него пишут втрое большее число. Например, из числа 57 можно за 2 минуты получить 5717171 или 5717117. Мария написала двузначное число и через несколько минут снова получила его же. Приведите пример, как она могла это сделать.

5.В коробке лежат пуговицы красного и синего цвета. Наугад достают две пуговицы. Если пуговицы одного цвета, то их выбрасывают, а в коробку добавляют одну синюю пуговицу. Если они разных цветов, то синюю пуговицу выбрасывают, а красную кладут обратно. В конце такой деятельности в банке остаётся одна пуговица. Какого она цвета и почему, если первоначально количество красных пуговиц в коробке равно 2020?

 

3 тур (2 группа) 6 – 7 классы

1.Попарные произведения  натуральных чисел  есть 64, 88, 120 и 165 в каком-то порядке. Найдите .

2.Фрекен Бок три дня подряд пекла плюшки. В первый же день Карлсон стащил у неё некоторое количество плюшек и съел 128 из них. На следующий день Карлсон стащил у Фрекен Бок столько плюшек, сколько осталось у него со вчерашнего дня, и съел 250 плюшек. На третий день Карлсон опять взял у Фрекен Бок столько плюшек, сколько осталось у него на кануне, и съел 300 плюшек. После этого у него ничего не осталось. Сколько плюшек стащил Карлсон в первый день?

3.Замените в выражении ОСЕНЬ + ОКТЯБРЬ одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы разными цифрами так, чтобы десятичная запись полученной суммы заканчивалась на наибольшее количество нулей и укажите возможные значения этой суммы.

4.Назовём натуральное число хорошим, если все цифры, входящие в его запись, повторяются в ней хотя бы дважды (например, 1522521 — хорошее, 1522522 — нет). Сколько существует четырехзначных хороших чисел без нуля в записи?

5.В равнобедренном треугольнике  () на стороне  взяли точки  и  ( ближе к , чем ) такие, что и углы  и  равны. Чему равен угол ?

 

3 тур (3 группа) 8 – 9 классы

1.В треугольнике   см. Найдите длину биссектрисы угла .

2.Обозначим через  сумму цифр в десятичной записи натурального числа . Найдите наибольшее значение выражения .

3.Ева и Мартин имеют целое число евро каждый. Мартин сказал Еве: «Если ты мне дашь 3 евро, то у меня будет в  раз больше евро, чем у тебя.» На что Ева возразила: «Если ты мне дашь  евро, то у меня будет в 3 раза больше евро, чем у тебя.» Какие натуральные значения может принимать ?

4.На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир?

5.Найдите наименьшее натуральное число вида , делящееся на 19, где 𝑛 − натуральное число.  

свернуть

II тур

2 тур (1 группа) 4 – 5 классы

1.Расставьте в вершинах и серединах сторон треугольника числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма трёх чисел, стоящих на каждой из сторон, была одна и та же.

2.На листке клетчатой бумаги нарисован прямоугольник . Разрежьте его на несколько квадратиков так, чтобы один из квадратиков был меньше всех остальных.

3.Полный бидон с молоком весит 20 кг, а бидон, наполненный молоком наполовину, весит 14 кг. Сколько будет весить бидон, если его наполнить на треть?

4.На доске написано число 1. За один ход разрешается либо прибавить к числу сумму всех его цифр, либо переставить его цифры в любом порядке. За какое наименьшее число ходов можно получить трехзначное число?

5.По траве вереницей вплотную друг за другом ползут сороконожки. Длина каждой сороконожки 10 см. В 12:00 сороконожки подползли к дорожке длиной 1 метр. Как только сороконожка поставит все 40 ножек на дорожку, она начинает ползти со скоростью 15 см/с, а пока хотя бы одна её ножка на траве, она ползет в 3 раза медленнее. Ровно в 12:01 последняя сороконожка сползла с дорожки и поставила свою последнюю ножку на траву. Сколько было сороконожек?

2 тур (2 группа) 6 – 7 классы

1.Если к двузначному числу приписать справа и слева по 1, то оно увеличится в 21 раз. Найдите число.

2.Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 73. Какое число задумал Вася (перечислите все возможные варианты)?

3.Целые числа от 1 до 2019 написаны на доске. Костя подчеркнул все числа, делящиеся на 2, затем все числа, делящиеся на 3, а затем все числа, делящиеся на 4. Сколько чисел подчеркнуто ровно 2 раза?

4.На какое наибольшее количество прямоугольников можно разрезать (без остатка) по линиям сетки клетчатый квадрат 7×7 так, чтобы среди них не оказалось одинаковых?

5.Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй – 4 головы, но тогда у Змея Горыныча отрастает 1985 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Примечание: если, например, у Змея Горыныча остались лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя).

2 тур (3 группа) 8 – 9 классы

1.Из числа 12345678910111213…57585960 вычеркните 100 цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим.

2.Можно ли из прямоугольников двух видов: 11×16 и 167×167 сложить квадрат 2004×2004, если каждый из видов прямоугольников использовать не менее одного раза?

3.Найдите все пары целых чисел , которые удовлетворяют равенству .

4.В треугольнике  на стороне  отмечена точка , а на стороне  – точка  так, что . Найдите величину угла , если известно, что

5.Некоторый предприниматель решил разводить рыбу в трёх прудах, в которых до этого рыбы не было. С этой целью он запустил в первый и третий пруды по 2 тонны мальков, а во второй пруд – 1 тонну. Через месяц он выловил для продажи 2 тонны подросшей рыбы из первого пруда, еще через месяц – 1 тонну из второго пруда, а еще через месяц – всю рыбу, оставшуюся во всех трёх прудах. Сколько всего рыбы он выловил в последний раз, если в этот самый раз из третьего пруда её было выловлено на 2 тонны больше, чем из первых двух вместе? Считать, что масса рыбы увеличивается равномерно. 

 

свернуть

I тур

1 тур (1 группа) 4 – 5 классы

1.Щука плывёт за карасём. Скорость щуки равна 10 м/с, а скорость карася – 6 м/с. На каком расстоянии они будут через 3 с, если сейчас между ними 80 м? Через какое время щука догонит карася?

2.Аня взяла из коробки половину всех конфет, Боря взял половину остатка, а Витя взял половину нового остатка. После этого в коробке осталось 8 конфет. Сколько конфет было в коробке первоначально?

3.Когда мальчика спросили, сколько ему лет, он ответил: «Вместе с сестрой мне 19 лет, а 5 лет назад я был вдвое старше сестры». Сколько лет мальчику?

4.Сумма двух чисел 715. Одно из чисел заканчивается нулём. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

5.Купили конфеты, сок и торт. Найдите стоимость покупки, если известно, что за конфеты заплатили в 2 раза больше, чем за сок, но на 12 рублей меньше, чем за торт, а сок стоил в 5 раз дешевле, чем торт.

 

1 тур (2 группа) 6 – 7 классы

1.В ящике лежат 35 шариков. Двое игроков по очереди берут от одного до пяти шариков. Тот, кто возьмёт последний шарик, - проиграл. Кто и как может обеспечить себе выигрыш, независимо от ходов соперника: первый игрок или второй?

2.Купили конфеты, сок и торт. Найдите стоимость покупки, если известно, что за конфеты заплатили в 2 раза больше, чем за сок, но на 12 рублей меньше, чем за торт, а сок стоил в 5 раз дешевле, чем торт.

3.В стране Дураков за 2 золотые монеты дают 3 букваря, а за 7 серебряных монет дают 4 букваря. За 33 корочки хлеба дают 24 пиявки, а за 42 серебряные монеты дают 48 пиявок. Сколько корочек хлеба дают за 8 золотых? Ответ объясните.

4.В двух пакетах было по 11 кг конфет. После того, как из первого пакета взяли в 3 раза больше конфет, чем из второго, в первом пакете осталось в 4 раза меньше конфет, чем во втором. Сколько конфет взяли из каждого пакета?

5.Истратив половину денег, я заметила, что осталось вдвое меньше рублей, чем было первоначально копеек, и столько же копеек, сколько было первоначально рублей. Сколько денег я истратила?

 

1 тур (3 группа) 8 – 9 классы

1.Группа туристов, выйдя в 8:00, движется со скоростью 6 км/ч и делает 15-минутный привал после каждых 10 км пути. Сколько км пройдёт группа к 15:30?

2.Пусть  – любое нечётное число, большее 3. Докажите, что предпоследняя цифра числа  является чётной.

3.Дуремар раскладывает пиявок по банкам: в первую банку он положил двух пиявок, во вторую – трёх пиявок и так далее, т.е. в каждую следующую банку он клал на одну пиявку больше, чем в предыдущую. При этом в последнюю имеющуюся у него банку он положил ровно десятую часть всех своих пиявок, а остальных пиявок сложил в коробку. Сколько было у Дуремара банок и сколько пиявок, если общее количество банок и пиявок у него равно 98?

4.На стороне  треугольника  отмечена точка  так, что . На стороне  отмечена точка , такая, что  и . Найдите углы треугольника . 

5.Однажды Дядя Фёдор, кот Матроскин и Шарик пошли на рыбалку. Улов оказался большим. Дядя Фёдор поймал половину от общего улова без 0,4 того, что поймали вместе кот Матроскин и Шарик. Кот Матроскин поймал треть от общего улова и 0,2 того, что поймали вместе Дядя Фёдор и Шарик. Улов Шарика отличается от улова Матроскина на 1 кг. Сколько весил общий улов? 

свернуть